Disk Graphs

Semana passada teve início a série de seminários em teoria de computação dos membros do Laboratório de Otimização e Combinatória. Essas palestras ocorrerão intercaladas com os seminários do DTC (Departamento de Teoria de Computação), ocorrendo, a priori, às Sextas-feitas, 10h. Acabei estreando essa série com uma palestra intitulada “Disk Graphs”. A ideia central era definir a classe de grafos chamada disk graphs e mostrar dois problemas clássicos de teoria dos grafos sobre essa classe: o problema da clique máxima e da coloração. Neste post, vou apresentar um pequeno resumo da apresentação (disponível aqui).

Dado um conjunto de discos no plano, definimos um grafo com vértices correspondendo aos centros dos discos. Dois vértices são conectados por uma aresta se seus discos correspondentes se interceptam com área não nula. Denominamos tal grafo Disk Graph (DG).

Exemplo de Disk Graph

Um Disk Graph onde todos os discos têm mesmo tamanho é chamado de Unit Disk Graph.

Exemplo de Unit Disk Graph

No caso particular em que os discos não podem se sobrepor, apenas se tangenciar, chamamos o DG de Coin Graph (CG).

Exemplo de um Coin Graph

Em seguida falei sobre a relação entre diferentes classes de grafos. A mais interessante é devido ao Teorema de Koebe (também conhecido como circle packing theorem) que diz basicamente que grafos planares e coin graphs são equivalentes. Eu desconfiava que todo grafo planar é também um disk graph. O prof. Stolfi, que estava presente, provou com um argumento bem simples: dado um coin graph, a menor distância entre bordos de discos que não se tangenciam é positiva, enquanto a de discos que se tangenciam é exatamente 0. Assim, existe um valor suficientemente pequeno do qual podemos aumentar o raio dos discos de forma que os círculos tangentes passem a ter interseção não nula e os não tangentes assim continuem.

Problemas

Um aspecto importante ao enunciar um problema para essa classe de grafos é especificar se a entrada é dada na forma de discos ou na forma de grafo. Observe que se for dada na primeira forma, conseguimos obter a segunda. Porém, mesmo para unit disk graphs, se a entrada estiver na forma de grafo, foi provado que é NP-difícil encontrar um conjunto de discos que formem tal grafo [1]. (Para coin graphs existe um algoritmo que constrói o conjunto de discos a partir de um grafo planar [2]). Para os problemas apresentados, vamos assumir que a entrada é dada na forma de discos.

Primeiramente apresentei o problema da clique máxima para unit disk graphs. Embora seja NP-difícil encontrar a clique máxima em um grafo geral, para unit disk graphs, existe um algoritmo polinomial . Não se sabe, porém, se o problema da clique máxima para disk graphs está em P ou NP.

Depois apresentei o problema da coloração, que continua NP-difícil, mesmo para unit disk graphs e a entrada sendo dada na forma de discos. Foram desenvolvidos algoritmos aproximados e algoritmos online para unit disk graphs e disk graphs. Para unit disk graphs o melhor algoritmo aproximado até agora tem fator de aproximação 3 (limite superior), sendo que não existe algoritmo aproximado com melhor fator de aproximação menor do que 4/3 (limite inferior) a não ser que P=NP. O melhor algoritmo online tem fator de competitividade 5 (limite superior) e não existe algoritmo com fator de competitividade menor do que 2 (limite inferior) a menos que P=NP. Para disk graphs, o algoritmo aproximado tem limites inferior e superior iguais a 4/3 e 5, respectivamente, e o algoritmo online tem ambos limites inferior e superior iguais a log n, ou seja, o algoritmo online para unit disk graphs é o melhor que se pode conseguir.

Sumário com os limites dos fatores de aproximação e competitividade.

Aplicações

Na palestra acabei não falando das aplicações práticas dos disks graphs. Porém, eles são muito utilizados para projetar topologias de rede wireless. Podemos pensar que cada disco representa uma antena wireless posicionada no centro do disco, com alcance equivalente ao raio do mesmo. Assim, o problema da coloração pode ser usado para encontrar uma atribuição de frequências às antenas, considerando que há interferência entre os sinais de antenas cujos círculos se interceptam.

Referências

[1] Breu, H. and Kirkpatrick, D. G. – Unit Disk graph recognition is NP-Hard
[2] Collins, C. R. and K, Stephenson – A Circle packing algorithm

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